极点极线#

1
忙活半天写这么多笔记发现好像没咋听懂,心累💔写完了,真是太tm累了

调和点列#

定义#

一条直线上放两个点，从左到右分别叫做左右点，中间再找一个点，记左中：中右=k，把刚刚找的点擦掉，再在右边找一个点，成为新的右点，原来的右点成为中间的点，令找到的新右点满足 左右：中右=k，则这四个点（最初的左右点，第一个中间点，新的右点）叫做调和点列。第一个中间点叫做内分点，新右点叫做外分点。

性质#

内分点和外分点都把线段 $AB$ 分成了两部分，这两种情况下这两部分的比例相等。若内分点为 $AB$ 中点，则外分点无穷远若点 $A,B,C,D$ 为调和点列（从左到右），则 $C,D$ 调和分割线段 $AB$ ，或 $A,B$ 调和分割线段 $CD$ （等价）

调和线束#

定义#

$A,B,C,D$ 成调和点列，直线外一点 $O$ 分别连接 $A,B,C,D$ ，成四条线，这四条线成调和线束

性质#

1：若直线 $l$ 上存在四个点 $A,B,C,D$ 成调和点列， $OA,OB,OC,OD$ 成调和线束，则做一条新的直线 $l'$ 使得 $l'$ 与 $OA,OB,OC,OD$ 分别交于四点 $A',B',C',D'$ ，则这四点也称调和点列性质1

证明

(看不懂没关系,我也没看懂,不考) 等面积

过 $O$ 做 $l,l'$ 的垂线段,长度分别为 $h,h'$ 则首先，由面积相等：

\frac{1}{2} \vec{A'C'} \cdot h' = \frac{1}{2} \vec{AD'} \cdot h', \qquad \frac{1}{2} \vec{C'B'} \cdot h' = \frac{1}{2} \vec{D'B'} \cdot h'.

两式相除得

\frac{\vec{A'C'}}{\vec{C'B'}} = \frac{\vec{AD'}}{\vec{D'B'}}.

另一方面，考虑三角形 $OA'C'$ 与 $OB'C'$ 的面积：

S_{OA'C'} = S_{OB'C'}, \qquad S_{OD'A'} = S_{OB'D'}.

利用三角形面积公式 $S = \frac{1}{2} ab\sin\theta$ ，分别写出：

\frac{1}{2} OA' \cdot OC' \sin\alpha = \frac{1}{2} OB' \cdot OD' \sin(\alpha + \beta),

\frac{1}{2} OB' \cdot OC' \sin\beta = \frac{1}{2} OB' \cdot OD' \sin\gamma.

从上述两式中消去公共边长，整理得

\frac{\sin\alpha}{\sin\beta} = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin\gamma}.

这正是调和点列所满足的正弦比例关系，即交比为 $-1$ 时的特征。

2 中点性质: 若 $l'$ 与 $ON$ ( $N$ 为 $A,B,C,D$ 中任意一点)平行,则另外三个交点是线段与中点的关系.

3 垂直模型: 若顶部三个小顶角任意两个相邻的相等,则中间的和另一个小角的和为 $90°$ 如图 $∠AOC=∠BOC$ ,则 $∠COD=90°$

证明

由1的证明得： $$\frac{\sin\alpha}{\sin\beta} = \frac{\sin(\alpha+\beta+\gamma)}{\sin\gamma}$$ 推导步骤： 1. 由三角函数等式关系，可得： $$\sin(\alpha+\beta+\gamma) = \sin\alpha$$ 2. 结合三角函数的角度性质，推导出角度关系： $$2\beta + 2\gamma = 180^\circ$$ 3. 对上述等式两边同时除以2，化简得： $$\beta + \gamma = 90^\circ$$

完全四边形#

定义#

指平面上四条直线两两相交、且无三线共点，所形成的四线六点图形。

四条直线：称为边（side）
六个交点：称为顶点（vertex）
三对对顶点：不共边的两个顶点为一对对顶点
三条对角线：每对对顶点的连线，构成三条对角线

性质#

对角线所在直线相互调和分割如图所示,任意存在四个交点的直线上的四个点都成调和点列(四条边,三条对角线上都有一组调和点列) (图中没有连D和右下角的点)

极点极线#

定义#

在二次曲线（椭圆、双曲线、抛物线、圆）外 / 内 / 上取一点 P：

这个点 P 叫极点
对应有一条唯一的直线 $l$ ，叫它的极线
若 P 在曲线外，极线就是 两条切线的切点连线
若 P 在曲线上，极线就是 过 P 的切线
若 P 在曲线内，极线是曲线内部一条对应的直线(实际上为过极点 P 作任意一条弦 AB（割线），交椭圆于 A,B 两点,分别过 A,B 作椭圆的切线，两条切线相交点Q的轨迹)

性质#

配极原理 若点 P 在点 Q 的极线上⇔ 点 Q 在点 P 的极线上 与椭圆的关系

例题

自极三角形#

如图所示:红色三角形上顶点所对的极线为其对边(由过P的完全四边形可推知) 同时,若A在B的极线上,则B在A的极线上,则直线AB与A,B的极线构成自极三角形(上面配极原理)

如何找极线#

定义#

通过定义找极线详见

性质#

通过画出自极三角形来找极线过点P做两条曲线的弦,四个焦点两两连接,做出两条相对的线的交点(共两个),连接得到极线.

练习

在圆锥曲线中应用#

极点极线的应用#

如图

椭圆内出现蝴蝶形 ,与椭圆的四个交点两两连接,再连接交点,得到极线,蝴蝶形的两条直线的交点为极点,则可代入极点坐标出极线/带入极线方程出极点.

关键: 找过固定点的叉号蝴蝶形的交点为固定点,两弦为叉号

调和点束的应用#

流程:求定点的极线→找到过定点且在曲线弦上的调和点列,调和线束→找直线截已知调和线束,根据性质找结论 (第二步找调和线束时,调和点列直线外的点应尽量选与四个调和点关系最多的点) (第三步若是找其他点截调和线束时,某个点分析不通时可以找其他点,没必要钻牛角尖)

如题,①计算A的极线 $l$ 发现过点B,②则 $l$ 与 $PQ$ 的交点与 $APQ$ 构成调和点列,③则过B引四个调和线束(因为B是定点,运用调和线束的性质时方便用.并且若从N开始引调和线束,则无法解题), $NP$ 与其交于四点,构成调和点列,又∵M在AB上,则自然想到G为 $AB$ 的极点 (怎么自然想到?极点极线性质那个图)

例题#

极点极线#

1.2008安徽#

极点极线 定比点差 设椭圆 $C: \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{2} = 1\ (a > b > 0)$ .当过点 $P(4, 1)$ 的动直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于两不同点 $A, B$ 时，在线段 $AB$ 上取点 $Q$ ，满足 $|\overrightarrow{AP}| \cdot |\overrightarrow{QB}| = |\overrightarrow{AQ}| \cdot |\overrightarrow{PB}|$ ，证明：点 $Q$ 总在某定直线上。 解答: 题设转化得 $PAQB$ 成调和点列,则Q在P的极线上. 返回性质

2.找极线练习#

答案: (定义或性质(T1,3,4是性质,T2是定义)) 返回笔记

3.2023新高考二卷#

极点极线

解: $(-4,0)$ 为固定点,x轴与 $MN$ 构成叉号,则 $MNA_1A_2$ 为蝴蝶形四个顶点,连接得到P在 $(-4,0)$ 的极线上

4.2023全国乙卷#

极点极线 解:(1) $\frac{y^2}{9}+\frac{x^2}{4}=1$ (2)①做T的极线交PQ于G,②则TPGQ构成调和点列.连接AG(这个是T的极线),AT,构成调和线束,③把y轴看作过n的直线,于调和线束中的AT平行,所以y轴与另外三个调和线束的交点们平分.而AG(T的极线)为定直线,因此其与y轴的交点为顶点,此焦点为MN中点.

5.2018北京文科#

极点极线 定比点差 和积关系 三角代换 解:(1) $\frac{x^2}{3}+y^2=1$ (2)略(3)注意此图不标准把BD换换位置就好了,下面默认把B当D,D当B.(要建立AB与其他线的关系,尽量把AB往调和线束上靠) ①做P极线,交PA PB与M N, ②则PCMA PDNB为两组调和点列, ③连接AB,CD交于T,上切线截调和点束,发现Q是两个调和点(P和上切点)的中点,则AB//PQ.

正确图

6.2025山东四诊#

懒得写解析了,不会做看这个视频